偶爾觀察一下植物王國,你就會清楚看到生命的第二個祕密,比在其他任何地方都來得明顯——到處都可以找得到數學模式:在對稱排列的花瓣裡,在沿著莖幹上下疊置的葉子裡,在某些植物的圓形種子和某些植物的尖形種子裡,以及在其他一些隨風飄散的種子的小小降落傘狀物裡。

就連在樹木不規則的幾何外形裡,也隱藏著令人難以捉摸的模式,這模式是一種自我參照的幾何原理,而在這樣的幾何架構下,樹木的些許小部分會與整體形貌有著不可思議的相似之處——正因為非常相似,所以建構模型的人可以用樹枝代表縮小的樹木。植物世界已經向物理學借用了這樣的結構,甚至現在仍然以近乎原來的形式使用這些結構。

不過,植物的其他特徵則因演化而與原始物理學愈離愈遠。植物的數學原理(如果有的話),一直隱藏在演化的層層修補中。有某些花朵會模仿雌蠅,是為了騙雄蠅前來做親密的接觸,以便傳播花粉;這種植物與昆蟲交互作用的演化,時間已經長達數億年之久。

在瞭解那些塑造植物的力量的同時,一定也要區別出哪些是演化形成的,哪些是物理免費提供的,一定要解開數學的一般限制與有彈性的遺傳指令之間的糾結。

科學家在很早以前就知道植物具有數學性。湯普生清楚看到植物世界裡的奇特數術,為植物生長的生物學帶來重要的影響。

多虧有當代動力學的研究成果,我們現在才對這種生物學所涉及的知識,有了相當清楚的概念。湯普生觀察到,植物王國對某些數字及螺線幾何結構有奇特的偏好,而這些數字又與幾何結構極有關聯;他的這項觀察,遵循了一個建構完整的傳統,這個傳統據他的推測,可追溯至達文西(L. da Vinci, 1452-1519)的時代,甚至更可遠推至古埃及。

我們已經注意到,植物(如花瓣、萼片及其他各種外貌)裡出現的數目,常取自費布納西數列:1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89……,在這個數列中,每一個數都是其前兩個數的和。如有例外,多半會是下列兩種情形當中的一種:一、這些數成對出現,這種把戲可能是由植物染色體的某些獨特性變出來的,但仍然屬於費布納西模式;二、所謂的「異常數列」1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,這個數列也是按照與費布納西數列相同的加法模式,只不過開始的數字不同。

針對植物的幾何與數目模式所做的研究稱為「葉序」(phyllotaxis),這類研究的歷史和文獻可列出一大串。在十八世紀中葉,就有兩位科學家研究過冷杉毬果裡的螺線,這兩位數學家分別是龐內(Charles Bonnet, 1720-1793)及卡蘭德利尼(G. L. Calandrini)。

後來約在一八三七年,晶體學先驅布拉菲兄弟(Auguste and Louis Bravais,前者研究「發散角」)對葉序理論做出了很大的貢獻,他們在生長中的植物身上發現了最顯著的單一規則性,也就是植物幾何學中普遍存在的一種特別角度,這部分我們在後面會談到。

一八七二年,沈迷於數學奇特事物的蘇格蘭數學家泰特(Peter G. Tait),利用晶格的幾何結構(亦即平行四邊形不斷重複的模式),證明出每當某個螺線系統一出現,我們一定也會看到其他相關的螺線。這就是為什麼我們會在相鄰的種子中看到兩組螺線,而這兩個螺線,都與相鄰的費布納西數有關,也都與模式的真正來源有非常大的差別。但上述這些人的研究僅只是敘述罷了——只是整理出排列的幾何結構,但沒有解釋這些數目與植物的生長究竟有何關聯。

費布納西數術之謎

為了解釋植物的費布納西數術,人們已經花了三百多年努力尋找答案。終於,這個目標好像已經達成了:一九九二年,庫德(Yves Couder)與鐸狄(Stephane Douady)這兩位法國數學家,將費布納西數術追溯到植物發展所碰到的自然動力學限制條件,總算對這個幾世紀以來的研究做了總結。

庫德與鐸狄的研究成果(也就是本章所要討論的主題),證明了植物裡明顯的數學模式,的確來自物理世界通用的定律,這些模式不只是演化所強化的遺傳偶發事故。然而就像其他所有的事物一樣,物理定律必須與植物的基因密切合作,因為如果沒有基因,當初就不會生長出任何植物了。

費布納西的兔子謎題隱含了更進一步的訊息。重要的不只是數字;這些數字產生的方式也關係重大。分支結構(可以說是兔子的家族樹)擁有令人驚嘆的數學理論,而費布納西數是看得見的一點端倪。用上述同樣的結構不僅能說明植物的數術,還可以闡釋植物的整個形態——也包括植物分枝的方式。


如今我們可以(在電腦模擬中)運用數學規則,來「種」出逼真的草、花、灌木叢和樹木,而那些規則很有可能就是說明植物如何自我生長的精髓所在。

(摘錄自《生物世界的數學遊戲》序言) 
 

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