植物的數學遊戲：費布納西的花朵，碎形的莖枝 @ 無憂樹心智筆記 ๘ஜ≈

偶爾觀察一下植物王國，你就會清楚看到生命的第二個祕密，比在其他任何地方都來得明顯——到處都可以找得到數學模式：在對稱排列的花瓣裡，在沿著莖幹上下疊置的葉子裡，在某些植物的圓形種子和某些植物的尖形種子裡，以及在其他一些隨風飄散的種子的小小降落傘狀物裡。

就連在樹木不規則的幾何外形裡，也隱藏著令人難以捉摸的模式，這模式是一種自我參照的幾何原理，而在這樣的幾何架構下，樹木的些許小部分會與整體形貌有著不可思議的相似之處——正因為非常相似，所以建構模型的人可以用樹枝代表縮小的樹木。植物世界已經向物理學借用了這樣的結構，甚至現在仍然以近乎原來的形式使用這些結構。

不過，植物的其他特徵則因演化而與原始物理學愈離愈遠。植物的數學原理（如果有的話），一直隱藏在演化的層層修補中。有某些花朵會模仿雌蠅，是為了騙雄蠅前來做親密的接觸，以便傳播花粉；這種植物與昆蟲交互作用的演化，時間已經長達數億年之久。

在瞭解那些塑造植物的力量的同時，一定也要區別出哪些是演化形成的，哪些是物理免費提供的，一定要解開數學的一般限制與有彈性的遺傳指令之間的糾結。

科學家在很早以前就知道植物具有數學性。湯普生清楚看到植物世界裡的奇特數術，為植物生長的生物學帶來重要的影響。

多虧有當代動力學的研究成果，我們現在才對這種生物學所涉及的知識，有了相當清楚的概念。湯普生觀察到，植物王國對某些數字及螺線幾何結構有奇特的偏好，而這些數字又與幾何結構極有關聯；他的這項觀察，遵循了一個建構完整的傳統，這個傳統據他的推測，可追溯至達文西（L. da Vinci, 1452-1519）的時代，甚至更可遠推至古埃及。

我們已經注意到，植物（如花瓣、萼片及其他各種外貌）裡出現的數目，常取自費布納西數列：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89……，在這個數列中，每一個數都是其前兩個數的和。如有例外，多半會是下列兩種情形當中的一種：一、這些數成對出現，這種把戲可能是由植物染色體的某些獨特性變出來的，但仍然屬於費布納西模式；二、所謂的「異常數列」1, 3, 4, 7, 11, 18, 29，這個數列也是按照與費布納西數列相同的加法模式，只不過開始的數字不同。

針對植物的幾何與數目模式所做的研究稱為「葉序」（phyllotaxis），這類研究的歷史和文獻可列出一大串。在十八世紀中葉，就有兩位科學家研究過冷杉毬果裡的螺線，這兩位數學家分別是龐內（Charles Bonnet, 1720-1793）及卡蘭德利尼（G. L. Calandrini）。

後來約在一八三七年，晶體學先驅布拉菲兄弟（Auguste and Louis Bravais，前者研究「發散角」）對葉序理論做出了很大的貢獻，他們在生長中的植物身上發現了最顯著的單一規則性，也就是植物幾何學中普遍存在的一種特別角度，這部分我們在後面會談到。

一八七二年，沈迷於數學奇特事物的蘇格蘭數學家泰特（Peter G. Tait），利用晶格的幾何結構（亦即平行四邊形不斷重複的模式），證明出每當某個螺線系統一出現，我們一定也會看到其他相關的螺線。這就是為什麼我們會在相鄰的種子中看到兩組螺線，而這兩個螺線，都與相鄰的費布納西數有關，也都與模式的真正來源有非常大的差別。但上述這些人的研究僅只是敘述罷了——只是整理出排列的幾何結構，但沒有解釋這些數目與植物的生長究竟有何關聯。

費布納西數術之謎

為了解釋植物的費布納西數術，人們已經花了三百多年努力尋找答案。終於，這個目標好像已經達成了：一九九二年，庫德（Yves Couder）與鐸狄（Stephane Douady）這兩位法國數學家，將費布納西數術追溯到植物發展所碰到的自然動力學限制條件，總算對這個幾世紀以來的研究做了總結。

庫德與鐸狄的研究成果（也就是本章所要討論的主題），證明了植物裡明顯的數學模式，的確來自物理世界通用的定律，這些模式不只是演化所強化的遺傳偶發事故。然而就像其他所有的事物一樣，物理定律必須與植物的基因密切合作，因為如果沒有基因，當初就不會生長出任何植物了。

費布納西的兔子謎題隱含了更進一步的訊息。重要的不只是數字；這些數字產生的方式也關係重大。分支結構（可以說是兔子的家族樹）擁有令人驚嘆的數學理論，而費布納西數是看得見的一點端倪。用上述同樣的結構不僅能說明植物的數術，還可以闡釋植物的整個形態——也包括植物分枝的方式。